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Diagonal do quadrado desde o começo

Em um quadrado de lado 1 quanto mede a diagonal? Se você já viu ou lembra da fórmula finja (para os propósitos desse post) que você nunca viu ela antes. Afinal alguém um dia descobriu ela e vamos fazer o mesmo agora.

Vamos achar a diagonal para um quadrado de lado 1.

quadrado lado 1 diagonal

Uma estimativa grosseira é que a diagonal é maior que 1, porque atravessar a rua inclinado demora mais que diretamente pensando nos lados inferior e superior como as margens da rua. Em geral podemos argumentar que num triângulo retângulo a hipotenusa é sempre maior que os catetos.

Outra estimativa grosseira é que a diagonal tem que ser menor que 2 porque para ir de um canto ao oposto do quadrado podemos ir diretamente pela diagonal ou seguir pelos lados. O caminho pela diagonal concerteza é melhor (é o direto) enquanto pelos lados percorremos 2, logo a diagonal é menor que 2.

Pode parecer que as duas estimativas acima são ruins mas na verdade elas são bem utéis, em problemas podemos usar esses tipos de estimativas para desfazermos confusões na resolução e também para julgar itens por eliminação.

Vamos construir um novo quadrado com lado sobre a diagonal do primeiro. A área desse quadrado (figura abaixo) é d^2 se acharmos quanto mede essa área acharemos a diagonal do quadrado.

quadrado lado 1 mais quadrado diagonal

Vamos didivir o quadrado novo em triângulos como mostra a figura abaixo.

quadrado lado 1 mais quadrado diagonal dividido

Cada um desse triângulos é metade de um quadrado de lado 1! portanto tem área 1/2. Como temos quatro deles formando o quadrado “torto” a área dele é:

4 . \dfrac{1}{2}

=2

Lembrando agora que a área desse quadrado também é d^2, temos:

d^2 = 2

e achamos

d = \sqrt{2}

Que é aproximadamente 1,414.

Agora como podemos achar a diagonal de quadrados com lado diferente? Na verdade basta aumentar o quadrado acima apropiadamente que achamos a nova diagonal. Por exemplo: Se aumentarmos o quadrado de lado 1 cinco vezes os lados e a diagonal aumentam cinco vezes logo para um quadrado de lado 5 temos que a diagonal mede 5 \sqrt{2}. Para um quadrado de lado 7 a diagonal mede 7 \sqrt{2}.

Em geral temos que num quadrado de lado \ell a diagonal mede
\ell. \sqrt{2} ou seja:

d= \ell. \sqrt{2}

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6 Responses to “Diagonal do quadrado desde o começo”


  1. 1 Talissa
    20 de janeiro de 2010 às 2:11 pm

    gente ele tá falando grego comigoo!! naum mentendi PN!!!Porr* Nenhuma!!

  2. 2 Karmen Jamur
    17 de abril de 2011 às 1:31 pm

    Ops, valeu mesmo. Adorei a explicação e entendi bem melhor do que apenas aplicando a fórmula.

  3. 4 Marcele
    24 de abril de 2012 às 10:44 pm

    Não sabia da fórmula geral. Bem simples… Gostei! :)


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