Arquivo de setembro \17\UTC 2009

17
set
09

Quando dois triângulos são iguais

Em problemas de geometria em geral não temos todos os comprimentos ou ângulos (“dados”), uma saída é calcular (ou até mesmo medir se temos um desenho preciso com régua e transferidor) tudo a partir das informações parciais que temos, o problema é que isso pode ser trabalhoso ou demorado então a pergunta é o que podemos fazer sem calcular muito?

Mais especificamente: É possível saber se dois triângulos numa figura são iguais sem ter todas as medidas? Repare que os triângulos podem estar girados ou refletidos o que dificulta o problema.

Ou seja: Que tipo de informação (dados em comum) eu preciso saber dos dois triângulos para poder dizer: “Aahh então esses triângulos tem que ser iguais!” ?

Mudando um pouco a pergunta, que será mais útil em seguida:

Com que informações podemos construir somente um triângulo?

Explicação: Porque se dois triângulos tem esse tipo de informação em comum eles vão ter que ser iguais e por outro lado se é possível construir triângulos diferentes com certos dados em comum então eles poderiam ser diferentes (consegui te confundir?).

Ex. Ter dois lados é suficiente para determinar um único triângulo?

Não, porque podemos variar o ângulo entre os lados e criar triângulos diferentes.

Então dois lados e o ângulo entre eles deve ser o suficiente certo?

Sim, de fato é. O lado oposto pode ser achado por Lei dos Cossenos e os outros ângulos por Lei dos Senos.

Este é o chamado “caso LAL” (Lado, Ângulo entre eles, Lado)

Três lados em comum também é suficiente certo?

Sim, também. Os cossenos dos ângulos (e no caso, os ângulos) podem ser achados por Lei dos Cossenos.

Este é o “caso LLL”.

Três ângulos em comum é o suficiente?

Não, ao aumentarmos um triângulo (todos os lados proporcionalmente) mantemos os ângulos! Logo, podemos criar triângulos diferentes com os mesmos ângulos. Isto é chamado de semelhança entre triângulos.

Mas e três ângulos e um lado?

Sim, se o lado em comum for o oposto ao mesmo ângulo. Na verdade, como a soma dos ângulos de um triângulo é sempre 180 graus se dois ângulos são iguais o terceiro (o que falta para completar 180 graus) também é para dizer esse caso do jeito mais simétrico vamos sempre pegar os dois ângulos adjacentes ao lado, ou “ALA”.

Este é o “caso ALA”.

Caso precisemos podemos achar os outros lados por Lei dos Senos.

Faltou alguma coisa?

Falta um último detalhe, analisar o caso de dois lados e um ângulo que não esteja entre eles. Por enquanto vamos chamar isso de “Ângulo, Lado, Lado oposto”.

Então existe o “caso ALLo”?

Não, resumindo, porque o seguinte pode acontecer…
ALL_o-5

ALL_o-6

Para mais sobre isso olhe aqui.

Logo os casos de congruência são: “LAL”, “LLL” e “ALA”.

Em alguns livros aparecem mais casos de congruência, mas estes são mais resultado de grande cuidado formal do que necessidade “real”. Os três casos acima são mais do que o suficiente para o entendimento do conteúdo ou para resolver exercícios de vestibulares.

17
set
09

O caso ALLo?

Se temos um ângulo, um lado, e o lado oposto ao ângulo. É possível construir quantos triângulos diferentes com esses mesmos dados?

Por exemplo: ângulo 30 graus um lado adjacente 8 e o lado oposto 5.

Na figura a seguir já desenhamos o ângulo “30 graus” e o lado “8″.

ALL_o-1

Para que o ângulo seja de 30 graus o terceiro vértice tem que estar sobre a linha pontilhada. Colocamos o lado 5 mas o vértice ainda está errado!!

ALL_o-2

Tentando ajeitar o terceiro vértice…

ALL_o-3

Achamos dois lugares(vermelho) possíveis…

ALL_o-4

Então podemos ter o triângulo
ALL_o-5

ou o triângulo

ALL_o-6

Logo se dois triângulos em um figura tem em comum “ALLo” eles podem ser diferentes.

Logo ALLo não é um caso de congruência.

Para os curiosos…
Mas será que para outros dados só é possível um triângulo?

De fato, se o ângulo for obtuso (ou reto) só te um triângulo.

Para o ângulo agudo temos que separar em alguns casos:

Se o círculo tangenciar a reta pontilhada (no exemplo acima o lado seria 4), só tem um triângulo. Quando isso acontece a linha pontilhada é tangente a circunferência neste caso o raio(o lado “4″) será perpendicular a tangente. Com um pouco de trigonometria, é possível concluir que isso acontece quando:

Lado oposto = (lado adjacente).(sen ângulo)

E se o raio do círculo for maior(ou igual) que o lado adjacente o círculo também só corta em um ponto(para o outro lado não é considerado porque o triângulo fica com o ângulo errado).

Analisando o lado oposto em todos os casos:

0< Lado oposto < (lado adjacente).(sen ângulo)
não tem triângulo!!

Lado oposto = (lado adjacente).(sen ângulo)
tem um triângulo.

(lado adjacente).(sen ângulo) < Lado oposto < Lado adjacente
tem dois triângulos.

Lado adjacente \leq ; Lado oposto
tem um triângulo

10
set
09

Pitágoras continuação

No Post “Pitágoras” achamos a área do quadrado sobre a hipotenusa e com isso achamos a medida da própria hipotenusa. Gostaria agora de a partir daquilo chegar no que é normalmente reconhecido como o Teorema de Pitágoras.

Seja um triângulo retângulo de lados a e b

Cada triângulo tem metade da área de um retângulo:
=\dfrac{ab}{2}

Área de 4 triângulos:

=4.\dfrac{ab}{2} que simplificando fica

= 2ab

Para achar a área do quadrado do meio precisamos achar seu lado colocando os comprimentos dos triângulos(todos são iguais) dentro do quadrado.

diagonal do retângulo com lados-tracejado-letras

temos que Lado = a-b

Área do quadrado no meio:

= (a-b)^2

Formando o quadrado inclinado temos:
4 triângulos e um quadrado pequeno

4.\dfrac{ab}{2}+(a-b)^2 que desenvolvido fica:

2ab +(a^2-2ab+b^2) simplificando:

a^2+b^2

Mas a área do quadrado inclinado também é c^2 logo:

c^2 = a^2+b^2

10
set
09

Porque diminui?

No post “soma e produto” observamos um efeito curioso: Em um produto de dois números iguais se aumentarmos um número e diminuirmos o outro pela mesma quantidade o resultado diminui. Alguns testes mostram que de fato é isso que acontece, demonstrar esse fato algebricamente (colocando letras) não é difícil, mas acho insatisfatório do ponto de vista intuitivo.

Vamos passar o problema para o contexto geométrico, e entender o que acontece lá. Imagine inicialmente um quadrado em que diminuímos um lado(vertical) e aumentamos o outro horizontal por uma mesma quantidade k o que acontece com a área nesse processo?

Bem, perdemos em cima um “faixa” de espessura k e comprimento o lado do quadrado. E o que ganhamos? Uma “faixa” também de espessura k e comprimento menor que o lado do quadrado original porque agora temos um retângulo mais “baixo” que o quadrado original por isso ganhando menos que perdendo portanto perdemos área na soma geral.

08
set
09

Pitágoras

Achar a diagonal de um retângulo é a mesma coisa que achar a hipotenusa do triângulo retângulo. Finja que você nunca ouviu falar do Teorema de Pitágoras para os propósitos deste post, afinal nosso objetivo será chegar neste teorema.

No post “diagonal do quadrado desde o começo” descobrimos como achar o comprimento da diagonal se sabemos o lado. Este post será uma continuação daquele, e usaremos as mesmas idéias fazendo adaptações onde for necessário.

Obs. Recomendo clicar nos links antes de continuar, assim algumas coisas vão fazer mais sentido…

Para tornar o problema mais concreto vamos imaginar que os lados do retângulo medem 5 e 8, a idéia funcionando para quaisquer lados.

diagonal do retângulo sem nada

Montando uma figura parecida com a antiga temos:

diagonal do retângulo com lados-tracejado-incompleto

Primeiro vamos achar a área do quadrado “inclinado” para depois achar seu comprimento.

Tentando estender a divisão passada, vamos colocar triângulos assim:

diagonal do retângulo com lados-tracejado

Os quatro triângulos dentro do quadrado formam um “catavento” (girando 90 graus o triângulo) sobrando agora um quadrado menor no meio.

Cada triângulo tem metade da área de um retângulo, então cada triângulo tem área (5.8)/2 = 20. logo os quatro triângulos juntos tem área = 80.

Para completar o quadrado inclinado falta a área do quadrado pequeno no meio, para achá-la colocamos os comprimentos dos triângulos.

diagonal do retângulo com lados-tracejado-final

E reparamos que o quadrado menor tem lado 8-5 = 3 logo tem área 3.3 = 9.

Então o quadrado inclinado inteiro tem área 80 + 9 = 89, lembrando que a área de um quadrado é:

c^2

então

c^2=89

c = \sqrt{89}

então a diagonal do retângulo mede \sqrt{89} \cong 9,43. Para ver que isso é a mesma coisa que Pitágoras veja isso.

07
set
09

Quantidade de divisores

Quantos divisores tem o número 240?

Primeiro gostaria de aperfeiçoar o método de tentativa e erro e só depois lançar o método definitivo.

Bem 2 divide 240 agora repare que 240/2 = 120 logo 240 = 2.120 e 120 também divide 240 dando 2! Assim como 240/3 = 80 então 240 = 3.80 e 80 também divide 240!

Logo já temos quatro divisores de 240: 2,3,80,120. Como 1 também divide 240 agora temos:

1,2,3,80,120,240

O 1 estando “pareado” com o 240, o 2 com 120, o 3 com 80 e continuando a lista:

4 e 60,
5 e 48
6 e 40
8 e 30
10 e 24
12 e 20
15 e 16

para chegar até o 15 fomos testando os números em sequência agora os números correspondentes foram diminuindo até 16 como não temos inteiros entre 15 e 16 e qualquer outro divisor acima de 16 teria um par abaixo de 15 que já teríamos encontrado.

1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,16,20,24,30,40,48,60,80,120,240.

contando temos 20 divisores positivos.

A partir desse exemplo é fácil crer que mesmo com o aperfeiçoamento dos “pareados” que método ainda pode ser demorado.

Quantos divisores tem 720?

Para o método definitivo vamos entender os divisores a partir dos fatores primos do número. Usaremos um número diferente “720″ para manter o desafio, fatorando temos:

720 = 2^4.3^2.5

Ou seja quatro fatores “2″, dois “3″ e um “5″.

Ao pensar na divisão do 720 como a fração “720/número” devemos poder simplificar a fração até cancelar totalmente o denominador. Logo o denominador não pode ter mais “2′s”, “3′s” ou “5′s” que 720.

Com relação aos fatores “2″ o nosso divisor pode ter nenhum, um, dois três ou quatro. Temos então cinco escolhas possíveis.

Com relação ao fator “3″ o nosso divisor pode ter nenhum, um ou dois. Temos três escolhas possíveis aqui.

Com relação ao fator “5″ o nosso divisor pode ter nenhum ou um. Temos duas escolhas possíveis aqui.

Podemos então criar um divisor em etapas escolhendo as quantidades de “2″ , “3″ e “5″.

(Para o “2″) (Para o “3″) (Para o “5″)
(5 opções).(3 opções).(2 opções) = 30 possibilidades

Mudando as escolhas em qualquer etapa criamos um divisor diferente dentre os 30 possíveis!

Porque temos que incluir o não ter aquele fator primo como uma opção a mais em geral a quantidade de divisores será:

(“expoente do 2″ +1).(“expoente do 3″ +1).(“expoente do 5″ +1)….

07
set
09

Soma e Produto

Se nos dão a soma e produto de dois números como podemos fazer para achá-los?

Exemplo: Soma = a + b = 20 e Produto = a.b = 84

Podemos fazer algo como tentativa e erro, fixando a soma em 20 e variando o a e b (aumentando um e diminuindo o outro mantendo a soma) até achar uma combinação que dê o produto 84.

Vamos começar com a e b iguais.

10.10 = 100
11. 9 = 99
12. 8 = 96
13. 7 = 91
14. 6 = 84

E achamos nossa resposta! Repare que esse método de tentativa e erro pode ser muito demorado dependendo do tamanho dos números. Ou pior ainda talvez o produto estivesse entre duas tentativas com números inteiros, por exemplo, se Soma = 20 e Produto = 87. Observando os resultados acima sabemos que “a” está entre 13 e 14 enquanto “b” está entre 6 e 7. Sendo necessárias várias tentativas com números decimais para se aproximar a resposta.

Gostaria no entanto, de explorar os resultados acima para entender melhor o problema. Para manter a soma constante diminuímos um número e aumentamos o outro, a princípio não está claro se o produto deveria aumentar ou diminuir! Mas vemos que começando com 10.10 o produto só diminuiu. Parece que para termos o maior produto possível de dois números devemos sempre escolher dois números iguais!

Para mantermos a soma constante o que acrescentamos no primeiro número temos que tirar do segundo! Começando com o produto “ideal-máximo 10.10″ se acrescentarmos e tiramos “k” então o produto fica:

(10 + k).(10 - k) =

10.10 + 10.k -10.k - k.k =

100 - k^2

Quanto maior o k menor fica o produto:
(10+ k).(10-k) = 100 - k^2 como esperaríamos pelas nossas tentativas.

Resumindo: Se a partir de dois números iguais aumentamos um termo e diminuimos o outro pela mesma quantidade sempre diminuímos o produto.

Vamos trocar os números e ver como esse método se comporta.

Soma = a+b = 40 e Produto = a.b = 351

20.20 = 400

Lembre que a partir de números iguais aumentamos o primeiro e diminuímos o segundo por uma certa quantidade k devendo diminuir o produto de 400 até conseguir 351.

Lembrando o produto é igual à:

(20+k).(20-k) =

400 -20k+20k -k^2 =

400 - k^2

então:

400 - k^2 = 351

k^2 = 400 - 351

k^2 = 49

k = 7

então nossos números são:

a = 20 + k = 20 + 7 = 27 e

b = 20 - k = 20 - 7 = 13.

Podemos resolver qualquer problema de soma e produto dessa forma.

Veremos num próximo post que esse método resolve também equações do segundo grau.

Além disso, veremos que o problema acima está naturalmente ligado aos perímetros e áreas de retângulos. Com interpretações geométricas intuitivas para as conclusões e métodos acima.

01
set
09

Viagem filosófica

Vimos no post “diagonal do quadrado” que a diagonal de um quadrado de lado 1 mede \sqrt{2}, vimos em outro post que \sqrt{2} não é fração nem decimal exato, gostaria de discutir agora como esses dois fatos juntos causaram uma crise na escola Pitagórica.

O filósofo Demócrito na grécia levantou a idéia de que o mundo é feito de “átomos” que são partículas indivisíveis, ou seja, que muito das coisas que vemos no mundo podem ser divididas em partes menores mas que em algum momento não conseguiremos mais dividí-las, chegando justamente nesses “átomos”.

Em geometria plana poderíamos imaginar esses átomos como pontos e todas as retas ou áreas com sendo feitas desses pontos.

Num quadrado de lado 1 cm teríamos então um lado formado por uma certa quantidade finita de átomos (chamaremos essa quantidade de b ) e formando a diagonal temos uma quantidade a de átomos.

Pelo lado do quadrado cada átomo deve medir \dfrac{1}{b} cm, como tem a átomos formando a diagonal esta mede a. \dfrac{1}{b} cm ou \dfrac{a}{b} cm.

Por outro lado essa diagonal tem que medir \sqrt{2} cm.

Logo \sqrt{2} = \dfrac{a}{b} com a e b inteiros.

Mas também vimos que \sqrt{2} não é fração!

A única saída para essa contradição é colocar em cheque a teoria dos átomos de Demócrito.

A crise se deu na escola Pitagórica porque além deles já saberem que a diagonal do quadrado 1 mede \sqrt{2} (também consequência do Teorema de Pitágoras) foi também um de seus seguidores que descobriu que \sqrt{2} não é fração. Foi instaurada então a crise na escola que reunia ensinamentos de Matemática, Filosofia e Religião.

De fato, o que poderia substituir a teoria de Demócrito?

“Colocar nesse espaço sua própria teoria.”

Na época foi criada a chamada teoria das grandezas de Eudoxo que foi um jeito de se virar em geometria sem fazer referência aos pontos “atômicos” de Demócrito. Não se achou na época um teoria filosófica que substitui-se a de Demócrito como fundamento de geometria plana.

Na definição atual o ponto da geometria tem tamanho exatamente “0″ e qualquer comprimento ou área é “feito” de infinitos deles.

Aparentemente então um comprimento maior ou menor tem a mesma quantidade de pontos: Infinitos. De fato, em um sentido bem preciso e razoável para a palavra “infinito” qualquer comprimento (e até área) tem exatamente a mesma quantidade de “infinitos” pontos. Para quem é curioso isso faz parte das descobertas de Cantor que espero comentar mais em futuros posts.




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