A imagem original do site gogeometry foi achada aqui.

The original image and problem is from the site gogeometry and was found here.

Aqui abaixo apresento a imagem completa da minha solução e os passos da solução em inglês:

Here I show the final picture of my solution and the steps to get to it.

Temos que compor uma senha de 4 algarismos vamos desenhar quatro espaços para os algarismos.

Primeiro calcularemos o total de possibilidades sem restrições (depois vamos retirar os ””).

Em cada um desses espaços pode ir o “” , “” , “” , ““, “” então em cada espaço temos 5 opções:

, , ,

Agora temos que retirar as senhas em que o ”” aparece. Essas senhas podem aparecer com as seguintes “caras”:

Temos que tomar cuidado aqui! O número “1313″ aparece tanto na primeira quanto na terceira. (temos que acrescentar para não retirar essa senha vezes)

Logo a quantidade total de senhas é

Gabarito: letra a)

Como o gráfico de “” é uma parábola a função “” é do segundo grau.

sustituindo o “” por para obter :

substiuindo em

temos:

cancelando alguns termos…

igualando os termos correspondentes (dois polinômios só são idênticos se tiverem os mesmos termos) vem que:

e

e logo

O mínimo(para ) de uma função do segundo grau ocorre no “ do vértice”:

Gabarito: c)

Resolução: Com litro de gasolina percorrem-se =

Como litro de gasolina custa R$ 2,20

então com gasolina gasta-se R$ 2,20 para percorrer e

para cada gastam-se R$ R$

Com litro de álcool percorrem-se =

então cada litro de alcool deve custar R$ R$

Gabarito: e)

Obs. Pode-se usar a “regra de 3″ diretamente em
2,20 – 11km (Gasolina)
x – 7km (Álcool)

Porque , e formam uma PA com podemos fazer: , e .

Porque , , estão em progressão geométrica

substituindo temos

fazendo Bháscara e simplificando temos:

por causa da condição temos e .

Gabarito: e)

Tirando o logaritmo dos dois lados:

Como é o maior inteiro possível

Gabarito: letra d)

Resolução: Por Pitágoras a hipotenusa AC mede 5. Porque DECF é um paralelogramo o triângulo DBE é semelhante ao ABC. Logo:

chamando DB de temos

chamando BE de e usando a semelhança novamente temos:

Como BC mede 3 então b=EC mede:

Então a área do paralelogramo é:

simplificando e multiplicando

Gabarito: letra a)

Obs) Poderia-se também usar que DE=FC achar AF e fazer semelhança de ABC com ADF o trabalho é semelhante.

Em vez de fazer a soma você pode aproximar, por exemplo: ou melhor .

Ou pode ser …

Mas isto é exatamente

porque

Podemos passar do para o .
Note que é a média de e .

Agora quanto é

Note que é a média de e .

Então a soma é

(némero de termos).(termo do meio)

mas espera um pouco e se for por exemplo:

Não temos um termo central mas

A média

Então a soma é

Então é sempre (número de termos).(média ou “termo do meio”)

E agora a última soma

Neste caso não vemos o “termo do meio” mas ele deve ser a média de?

ou

Então a soma genérica é:

(número de termos).(média) =

(número de termos).()

Esta é a soma de qualquer progressão aritmética.

.

As demonstrações que eu vi não me satisfizeram completamente (eu procurei). Neste post gostaria de mostrar uma visão diferente dessa fórmula.

Depois de alguma reflecção parece razoável que o volume da pirâmide seja diretamente proporcional à area “” e a altura ““, o 1/3 que me incomodava.

Para uma motivação inicial vamos primeiro usar um prisma retângular (ou seja vertical) com base quadrada ABCD e cortá-lo com um plano não paralelo à base, considerando abaixo desse plano o sólido truncado que em cada vértice da base da base ABCD tem alturas , , e .

Qual é a altura do sólido no centro do quadrado?

É possível mostrar usando geometria plana que o que tem uma certa lógica.

e também

Isso é igual a idéia intuitiva da “altura média do sólido” e é igual a média das alturas nos pontos A, B, C e D.

O volume do sólido truncado should be

(Area da base B).(altura média)

O que acontece se a base for um triângulo equilátero ABC?

A mesma idéia deve se aplicar assim o volume seria:

Vamos analisar o caso extremo quando e neste caso temos uma pirâmide!!

Então o volume de uma pirâmide é:

Como queríamos!

Esta demonstração não é completamente rigorosa mas acho ela bastante intuitiva. Se você quer ver uma versão mais vigorosa vá para a página volume of the pyramid made rigorous.

Para simplificar vamos assumir .

Vamos elevar ao quadrado a primeira equação:

O produto notável que usamos

é parecido com será que isso ajuda?

Como temos que se soubéssemos o problema estava resolvido.

Agora de para a diferença é ou seja:

ou também:

substituindo então:

(lembre-se que assumimos )

Somando as duas equações temos: então e .

Gostaria de sintetizar e generalizar esta resolução.

ou seja:

Usando para Soma, para Produto e para Diferença.

Depois que temos a diferença o problema se resolve manipulando o sistema da soma e diferença. No entanto, gostaria de mostrar uma solução um pouco mais elegante interpretando geometricamente os números

No meio caminho entre as duas raízes e temos a média:

(repare também que ). A partir do meio entre as duas raízes avançamos e voltamos a mesma quantidade para chegar em cada raíz, lembrando que temos:

essa quantidade é metade da diferença !

ou seja as raízes são:

e substituindo temos:

que é a fórmula de Bháscara.