Equação do Segundo Grau

No post Soma e Produto vimos um jeito de resolver o seguinte sistema:

$\left\{ \begin{array}{l} a+b=20 \\ a.b=84 \end{array} \right.$

agora gostaria de fazer diferente, na equação $a+b=20$ podemos isolar o $b$ ficando: $b=20-a$ e substituir na outra equação $a.b=84$ (para simplificar vamos supor $a \geq b$ ).

$a.(20-a)=84$

$20a-a^2=84$

$a^2-20a+84=0$

e o problema se torna uma equação do segundo grau.

A princípio poderiamos fazer a substituição contrária ficando com uma equacao idêntica só que em $b$ . Podemos dizer que tanto $a$ quanto $b$ são raízes da equação:

$x^2-20x+84=0$

Note que o $20$ era originalmente a soma e o $84$ o produto. Se usarmos para “Soma” a letra $S$ e para o “Produto” $P$ temos:

$\left\{ \begin{array}{l} a+b=S \\ a.b=P \end{array} \right.$ então $x^2-Sx+P=0$

Ou seja, se começamos com uma equação do segundo grau recolhecemos o termo da soma e do produto e usando a idéia do post “Soma e Produto” e resolvemos o problema.

Vamos agora colocar todos os passos juntos para chegar na fórmula de Bháscara.

No exemplo antigo fizemos $a=10+k$ , $b=10-k$ em geral $a=$ metade soma $+k$ e $b=$ metade da soma $-k$ .